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#12e   Obteniendo la Unidad Astronómica

Última de 3 secciones optativas ligadas entre sí   (Parte anterior ligada aquí)

Algunos de los números en la ecuación (8)

D = (R–r) [sen2 θ / cosθ] ΔT / T                 (8)

pueden ser preparados de antemano. Como ya se demostró, (R–r) = 15.25' (minutos de arco), y con θ = 46.62° , sen2 θ/cosθ = 0.76124. Para las dos estaciones de observación escogidas aquí, con (hora:min:seg) dadas en tiempo universal (hora de Greenwich), se obtiene de

http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/transit/TV2004.html#city

Estación 2do contacto 3er contacto     T

Durban
en segundos
5:35:52
20152
11:10:07
40207

20055

Cairo
en segundos
5:39:09
20349
11:04:35
39875

19526

Promedio T = 19790.5 seg

Diferencia ΔT = 529 seg

ΔT/T = 0.02673

    Cuando el método del tránsito de Venus fue intentado por primera vez en 1769, las precisas observaciones fueron ensombrecidas por un fenómeno inesperado. Al acercarse el disco oscuro de Venus a la orilla ("limbo") del disco solar, pareció que se formaba un puente oscuro entre él y la oscuridad más allá del disco, haciendo difícil identificar el momento de segundo y tercer contacto. La causa de este "efecto del punto oscuro" aún se debate, pero puede estar relacionado con el profundo decremento del brill del Sol, cerca de su limbo. Tal "oscurecimiento del limbo" (también evidente en la imagen del Sol utilizada en la parte 1 de este cálculo) ocurre debido a que la luz que nos llega desde las cercanías de la orilla visible es emitida por necesidad en un ángulo de muy poca elevación. Por lo tanto, tiene que viajar a través de una gran espesura de la capas más frías del Sol (sobre la fotósfera, emisora de luz, pero aún y así, por debajo de la cromósfera y la corona), y parte de ella es absorbida de nuevo. Juntando todo lo anterior en (8), donde D (como R–r) se espera que sea dada en minutos de arco,

D = (15.25)(0.76124)(0.02673) = 0.310306'

o tan solo 1/3 del ancho del disco de Venus enfrente del Sol. Asumiremos que las rutas de tránsito a lo largo del Sol son paralelas a la eclíptica, y tan solo usaremos la proyección de PP' perpendicular a la eclíptica.

La Órbita de la Tierra.

   Ahora necesitamos introducir distancias en el sistema solar medidas en unidades astronómicas. La distancia media Sol-Tierra es 1 UA, pero varía ligeramente debido a la excentricidad de la órbita de la Tiera, e = 0.01673. (Este valor se puede deducir en principio a partir de la desigualdad de las estaciones, discutido en la sección #12a respecto de la segunda ley de Kepler, pero es cálculo no es sencillo). La distancia a cualquier planeta moviéndose en una elipse de Kepler, en coordenadas polares (r, θ), está dada por

r = a(1–e2)/(1 + e cosθ)                 (9)

(Observe que el uso del símbolo "r" es diferente de uno anterior). Las distancias (más pequeñas, más grandes) ocurren cuando θ= (0°,180°) y cosθ = (1, –1). Dada la identidad (1–e2) = (1–e)(1+e) aquellas distancias se convierten en r(1–e), r(1+e), o para la distancia Sol-Tierra en UA, tan solo 1–e y 1+e.

    La Tierra está lo más cerca del Sol (=en perihelio) alrededor del 4 de Enero, de manera que su distancia más grande (en afelio) deberá estar al inicio de Julio. El tránsito del 8 de Junio de 2004, estuvo más cercano al afelio, de manera que como una aproximación, pongamos la distancia en 1.015 UA (considerando que es 1.01673 en el afelio, donde tiene su máximo y varía lentamente, y 1 UA en el equinoccio de primavera, cerca del 21 de Marzo).

    ¿Pero cuál es la distancia de Venus en UA? Aquí podemos utilizar la tercera ley de Kepler, mediante la cual el cuadrado del período orbital T es proporcional al cubo de la distancia media a (el eje semi mayor). El Período de Venus es 0.616 años, por lo tanto su distancia media del Sol es de 0.723 AU.

    En el momento del tránsito, Venus está entre nosotros y el Sol, y si ambas órbitras fueran circulares, esto pondría a la Tierra a una distancia de 0.277 UA de Venus. En ausencia de más información, una órbita circular será asumida para Venus (en realidad, una muy buena aproximación). Sin embargo, dado que la Tierra está cerca del afelio, a una distancia asumida de 1.015UA, necesitamos agregarle 0.015 UA a la distancia Venus-Tierra, y entonces obtenemos 0.292 UA.

El Cambio en la Posición Aparente del Sol

[IMAGEN: El centro del Sol visto desde P y desde P']
Fig. 5   El centro del Sol visto desde P y desde P'

    A continuación un tema más sutil. Debido a que P y P' están distantes entre sí y el Sol no está infinitamente alejado, la posición de un punto en el Sol, en relación con las estrellas lejanas (por ejemplo, al ser medidas mediante coordenadas en la esfera celestial) es ligeramente diferente en cada posición. Tome el centro del Sol O. Si el Sol fuera transparente y pudiéramos ver las estrellas detrás de él, viendolo desde P y desde P' nos mostraría fondos ligeramente diferentes, y las dos direcciones formarían un pequeño ángulo F (vea el dibujo). Las coordenadas del cielo de cualquier otro punto en el Sol (por ejemplo una pequeña mancha solar) también tendrían esta diferencia cuando se observan desde P o P'.

    Ahora denotamos con una X el número de kilómetros en una UA: ¡ese es el número que deseamos obtener! El triángulo largo y angosto PP'O puede ser visto como un corte en forma de gajo (como una sección de un pay) de un círculo con O al centro. El círculo completo contiene 360×60 = 21600 minutos de arco, y la proporción entre F y ese número es escencialmente el mismo que la proporción entre la distancia PP' (con un pequeño error debido a que PP' es recto) y la totalidad de la longitud del círculo, la cual es 2πx, con 2π=6.2832 con una exactitud de 4 dígitos decimales. Expresado en números

F / 21600 = PP'/(6.2832 (1.015 x))                 (10)

    El ángulo F es muy pequeño, debido a que el Sol está muy lejos. De cualquier manera, no puede ser ignorado, porque el ángulo D con el cual estamos trabajando es también muy pequeño.
[IMAGEN: Cómo se corrige el ángulo de visión]
Fig. 6   Corrigiendo el ángulo de visión
pra la distancia finita del Sol

    Ahora escojamos algún instante durante el tránsito, donde P ve a Venus en el punto Q (en la línea AB) y P' ve a Venus en el punto Q' (en la linea A'B'). Para este cálculo, las posiciones del cielo vistas desde P servirán como nuestro "sistema de referencia", y "arriba" y "abajo" harán referencia a las direcciones de los dibujos. Para obtener las "direcciones del cielo estándard" de cualquier punto en el Sol visto desde P' ---incluyendo cualquier punto de A'B', y en particular Q', se necesita llevar su posición "hacia arriba" mediante un ángulo F. (Figura 6)

El Ángulo D' de Paralaje Corregido

[IMAGEN: Geometría del paralaje corregido de Venus]
Fig. 7   Geometría
del paralaje corregido
de Venus

    Para obtener la "posición celestial" de A'B' y de Q' en las mismas coordenadas celestiales que AB y Q, debemos (como se observó con anterioridad), "levantarla" mediante un ángulo F hacia el centro del Sol. Entonces sigue que el ángulo PVP' (o QVQ', lo cual es lo mismo), no es D, sino

D' = D + F         (11)

    Con anterioridad, cuando se discutió la Figura (1b), ese ángulo fue referido como "D", lo cual (como ahora resulta) no es completamente correcto. De hecho, el ángulo PVP' nunca fue medido, tan solo fue deducido de las posiciones observadas de Venus frente al Sol. En realidad PVP' es igual a D', y no al ángulo D originalmente deducido, pero no solo Venus, sino también el Sol detrás de el fue observado desde dos puntos diferentes.

    Ahora, en la figura 7 tenemos un triángulo largo y angosto cuyo lado es la distancia Tierra-Venus, estimada en Rv=0.292 UA. Dado que el ángulo D' es muy pequeño, PP' puede ser representado como una pequeña parte de un círculo, dando como resultado algo muy cercano a

PP'/ Rv = D'/360°

En la Figura 5 se puede aplicar el mismo argumento, excepto que el ángulo ahora es F y el lado del triángulo es la distancia Sol-Tierra, estimada como Rs=1.015 UA. Por lo tanto (muy cercano a)

PP'/ Rs = F/360°

Dividiendo derecha entre derecha, e izquierda entre izquierda

Rs / Rv   =   D' / F   =   1.015/0.292   =   3.476         (12a)

A partir de (10)

x   =   (PP' / F) [21600/(6.2832. 1.015)]   =   3386.9 (PP' / F)         (12b)

Combinando las ecuaciones (11) y (12a),

D  =  D' – F   =   F [(D'/F) – 1]  =   2.476 F

El valor de D era 0.310306 minutos de arco. A partir de (12b)

x   =   3386.9 PP' [2.476/D]   =   3386.9 PP' [2.476/0.310306]  

x   =   27024.8 PP'         (13)

(Gracias al Profr. Backhaus de la Universidad de Essen por mostrar algunos atajos para estos cálculos).


Obtención de PP'

    Durante el solsticio de Verano, alrededor del 21 de Junio, el eje de la Tierra se inclina hacia el Sol, creando un ángulo de 23.5 grados con respecto a la línea perpendicular de la eclíptica. Como una aproximación burda, asumamos que también esa fue la condición el 8 de Junio (Figura 8a).

    Ambas ubicaciones están a aproximadamente 30° al este de Greenwich, haciendo su tiempo local dos horas más tarde. El tránsito por lo tanto comienza antes de las 8 am y termina alrededor de la 1 pm. En el mediodía local de ese día, el radio desde el centro de la Tierra a P (Cairo) realizó un ángulo hacia la eclíptica (vea el dibujo) de

30° – 23.5° = 6.5°

y la distancia perpendicular de P a la eclíptica, en unidades del radio RE de la Tierra, fue

(sen 6.5)(1 RE) = 0.11320 RE

[IMAGEN: Cálculo de PP']
Fig. 8a   Geometría para obtener PP'

El radio a P' (Durban) realizó un ángulo

30° + 23.5° = 53.5°

y la distancia perpendicular de P' desde la eclíptica fue

(sen 53.5°)(1 RE) = 0,80386 RE

Obtención de la UA

[IMAGEN: Proyección de PP' perpendicular a la eclíptica]
Fig. 8b   Proyección de PP'
perpendicular a la eclíptica

    La separación de los puntos en la dirección perpendicular a la eclíptica, la cual escogimos que fuera PP' (sin importar los cambios entre los puntos en la dirección del Sol-Tierra, que son mucho más pequeños que las distancias a Venus y a el Sol) fue

0.11320 + 0.80386 = 0.91706 RE

    A las 6 de la mañana la línea PP' está de "lado" y el punto ecuatorial entre dichos puntos también está en la eclíptica. Repitiendo los cálculos de anteriores, el desplazamiento perpendicular a la eclíptica se puede mostrar que es

Para P (sen 30°)(cos 23.5°)(1 RE) = (0.5)(0.91706) = 0.45853 RE

Para P' (sen 30°)(cos 23.5°)(1 RE) = (0.5)(0.91706) = 0.45853 RE

La suma:

0.45853 + 0.45853 = 0.91706 RE

    (El mismo valor, como también puede ser demostrado mediante trigonometría). Asi, PP' es (por lo menos) casi constante. Con un radio de la Tierra de 6371 km obtenemos, con una exactitud de 4 decimales

PP' = (0.91706)(6371) = 5842.6 km

Substituyendo en (13),

x = 157.9 millones de km

El valor aceptado es de aproximadamente 149.59 millones de km (con frecuencia redondeado a 150 millones) de manera que el valor de arriba está alejado en un 5%. (No he rastreado la fuente de la discrepancia; un error de 1 grado en el valor de θ también produce tal diferencia).

    Por cierto, con frecuencia los astrónomos presentan esta información de una manera equivalente, tal como "paralaje solar." Ese es el ángulo F obtenido en la Figura 5, si los dos puntos de observación están separados por un radio de la Tierra (1 RE) y retirados 1 UA. El valor común dado para el paralaje solar es de 8.79" (segundos de arco, 1/60 de un minuto de arco). Puede utilizar la ecuación (10) para obtenerla.


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Autor y Curador:   Dr. David P. Stern
     Correo al Dr. Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org .

Traducción al Español por Horacio Chávez


Última Actualización: 7 de Octubre de 2004


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