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(M-10) La Trigonometría para ángulos mayores de 90°

"Astrónomos" introdujo dos formas de describir la posición de un punto P en un plano (p.e. una hoja de papel): las coordenadas cartesianas (x,y) y las polares  (r,f). 

Ambas usan como referencia un punto O ("origen") y un línea recta a través de él ("el eje x"). En las coordenadas cartesianas se dibuja un segundo "eje y" por O, perpendicular al primero, y se dibujan desde P unas líneas paralelas a los ejes, que cortan los ejes en los puntos A y B del dibujo. Las distancias OA y OB nos dan los números que definen P, las coordenadas x , y del punto.

En coordenadas polares, el punto P se define por su distancia r desde el origen O (vea el dibujo) y su ángulo polar  ("azimuth" en un mapa) entre el eje de las  x y el "radio" r = OA, medido antidextrogiro (hacia la izquierda). 

Como la figura OAPB es un rectángulo, la distancia AP es igual a y. Por consiguiente

senf = y/r
cosf = x/r

Multiplicando todo por r nos da la relación entre los dos sistemas de coordenadas (los símbolos que están juntos se están multiplicando):

x = r cosf
y = r senf

Estas relaciones permiten que puedan ser calculadas (x,y) cuando se proporciona (r,f). Opuestamente, dados (x,y), lograr (r,f), obsérvese que en el triángulo OAP, por Pitágoras

x2 + y2 = r2

Por lo tanto, dados (x,y), se puede calcular r y luego (senf, cosf) se pueden calcular como antes 

senf = y/r
cosf = x/r

(excepto en el punto de origen O, donde (x, y, r) son cero y las fracciones anteriores se hacen 0/0; se puede escoger cualquier valor para el ángulo f).

Sin embargo, continúa existiendo un problema. El ángulo f tal y como se ha definido anteriormente puede ir desde 0 a 360°, pero (senf, cosf) están definidos para 0 a 90°, cubriendo solo la parte del plano donde x e y son positivas. Cuando uno o ambos son negativos, el ángulo f es mayor de 90 grados, y esos ángulos nunca aparecen en ningún triángulo rectángulo. ¿Qué solución (senf, cosf) podemos tener para f mayor de 90 grados?

Es simple: use las ecuaciones anteriores para redefinir el senf y el cosf para esos ángulos. Las ecuaciones son 

senf = y/r
cosf = x/r

Se ven ahora como nuevas definiciones del seno y del coseno, para el ángulo polar f formado por x e y. Si (x,y) son positivos, el resultado es exactamente el mismo que para los ángulos dentro de un triángulo rectángulo. Pero también es válido para ángulos mayores. Ahora el seno y el coseno pueden ser negativos (como x e y) pero su magnitud no puede exceder de 1, debido a que la magnitud de x e y nunca es mayor que r. He aquí los signos:

Rango senf = y/r cosf = x/r
0-90° + +
90°- 180° + -
180° - 270° - -
270°-360° - +
Permitiendo ir a la línea OP alrededor del origen más de una vez hace crecer al ángulo f más de 360°; el seno y el coseno se siguen definiendo como y/r e x/r, y repite sus valores anteriores. Igualmente, girando OA en la dirección opuesta, a derechas, se definen valores negativos de f. Conjuntamente, esas extensiones definen los (senf, cosf) para cualquier ángulo f, positivo o negativo, de cualquier medida.

La relación derivada del teorema de Pitágoras

sin2f + cos2f = 1

sirve para cualquiera de esos ángulos. Si el seno o el coseno es cero, la otra función debe ser +1 ó -1, dependiendo del signo de la coordenada (x o y) que los definen. A 90° y 270°, x = 0 y por lo tanto cosf = 0, mientras que a 0° y 180° y = 0 y por lo tanto senf = 0. Luego obtenemos

Ángulo senf = y/r cosf = x/r
0 +1
90° +1 0
180° 0 -1
270° -1 0
360° 0 +1
Por supuesto, f = 0° y f = 360° representan la misma posición de r, a saber, a lo largo de la rama positiva del eje x . debajo está la gráfica del cosf:


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Spanish translation by J. Méndez

Last updated 13 December 2001

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