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Mapa del sitio




(7) Precesión

(8) La Tierra Redonda

(8a) Distancia al Horizonte

(8b) Paralaje

(8c) Distancia a Luna-1

(8d) Distancia a Luna-2

(9) Girará la Tierra?

(8d) ¿Que distancia hay a la Luna?--2

Hiparco, que usó un eclipse de Luna para deducir la precesión de los equinoccios (aquí), usó un eclipse total de Sol, probablemente en el año129 a.C., para calcular lo lejos que estaba la Luna. (Pero también dedujo la distancia a la Luna mediante su propio eclipse, vea aquí).

Ese eclipse fue total en el Helesponto, en los Dardanelos, parte del estrecho que separa las partes europea y asiática de Turquía, pero solo las 4/5 partes del Sol se cubrieron en Alejandría (Egipto), ciudad más al sur. 

Hiparco sabía que cuando el Sol se eclipsaba, la Sol y la Luna ocupaban el mismo lugar en la esfera de los cielos. Suponía que la razón era debida a que la Luna pasa entre el Sol y nosotros.

Creía que el Sol estaba mucho más distante que la Luna, como había concluido Aristarco de Samos casi un siglo antes observando el tiempo en que estaba la Luna exactamente en su fase media (vea las secciones #8c y #9a). También da por hecho que el máximo del eclipse ocurre al mismo tiempo en ambos lugares (no era acertado pero, afortunadamente, no era muy diferente) y entonces lleva a cabo el siguiente cálculo. 

El Eclipse

The Angle to the Moon from two points

En un eclipse total de Sol, la Luna apenas cubre el Sol. El Sol está tan distante que cuando se le mira desde cualquier lugar de la Tierra, cubre prácticamente la misma parcela de cielo, con una anchura de unos 0.5º. Hiparco se fijó en el punto E del borde de la Luna (dibujo), el  punto que, durante la totalidad y cuando se veía desde el Helesponto (punto B), se superponía justamente al punto D del borde del Sol. 

Visto desde Alejandría (punto A), en el mismo momento, el punto E solo se superponía al punto C del Sol, aprox. a 1/5 de diámetro solar separado del borde, por lo que no era un eclipse total. Un quinto del diámetro del Sol cubre solamente unos 0.1º del cielo, así que el pequeño ángulo α (alfa, A griega) entre las dos direcciones mide unos 0.1º. Este ángulo es el paralaje del borde de la Luna, vista desde los dos lugares citados arriba.

Es improbable que Hiparco conociera la distancia AB, pero probablemente conocía las latitudes del Helesponto y Alejandría. La latitud local puede evidenciar ser igual a la elevación del  polo celestial  sobre el horizonte y actualmente se puede deducirse fácilmente observando la altura de la Polar, la estrella del polo sobre el horizonte. En los tiempos de Hiparco el polo de los cielos no estaba cerca de la Polar (debido a la  precesión de los equinoccios), pero Hiparco, que había cartografiado la posición de unas 850 estrellas, debía conocer sus posiciones muy bien.

La latitud del Helesponto (en un atlas moderno) es de 40° 20' (40 grados y 20 minutos, 60 minutos por grado), mientras que la de Alejandría es de 31° 20', una diferencia de 9°. Daremos por hecho que Alejandría está exactamente en el sur. Si, además, r es el radio de la Tierra, la circunferencia de la Tierra será 2 π r, donde π = 3.1415926... ("pi", P minúscula griega) es la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Puesto que la circunferencia es igual a 360º, tenemos

AB = (2 π r/360)· 9

el punto indica multiplicación (equivalente algebraico del símbolo x).

La distancia R a la Luna

Los puntos AB están también colocados en otro círculo, centrado en la Luna. El radio en este caso es la distancia R a la Luna y debido a que el arco AB cubre 0.1º, tenemos

AB = (2 π R/360)·0.1

Estrictamente hablando, cada uno de los dos arcos AB enunciados en las ecuaciones anteriores están medidos a lo largo de un círculo diferente, con radios diferentes (y los dos círculos curvados hacia lados opuestos). No obstante, en ambos casos AB cubre solo una pequeña parte del círculo, así que, como aproximación, podemos considerar que cada uno de los arcos son iguales a la distancia recta AB. Esta suposición nos permite estimar las dos expresiones como iguales y escribir

(2 π R/360)·0.1 = (2 π r/360)·9

Multiplicando ambas igualdades por 360 y dividiéndolas por 2 π nos da

0.1 R   =   9 r

Dividiendo por (0.1 r)

R/r   =   90

sugiere que la distancia a la Luna es de 90 radios terrestres, una sobrevaloración del 50%. 

Un cálculo más preciso

If the Sun is not overhead Una razón de que se obtengan valores excesivos es que se da por hecho que la Luna está arriba en lo alto en A o B. Realmente, es muy probable que esté a un ángulo significativo con la dirección hacia arriba, el "cenit" (vea el dibujo). 

Luego la sección cortada por el ángulo α del círculo de radio R alrededor de E no es AB, sino AF (segundo dibujo) que es menor. Tenerlo en cuenta reduce la distancia. 

No sabemos donde estaba el Sol durante el eclipse del 129 a.C., pero deberá estar en la eclíptica (¡Obviamente las palabras están relacionadas!), que lo coloca, en cualquier caso, dentro de los 23.5° del ecuador celestial. Asumiendo que estaba en el ecuador (esto es, pasó sobre el ecuador de la Tierra) y al sur de las observaciones descritas (p.e.: el eclipse ocurre cerca del mediodía) podemos hacer una tosca estimación de la corrección usando trigonometría sencilla (vea la sección M-8).

El Helesponto está en una latitud de 40º y como indica el dibujo, es también el ángulo entre la dirección de la Luna y el cenit. Del dibujo (x indica multiplicación) 

AF = AB cos 40° = 0.766 AB 

Repitiendo el cálculo precedente para AF

AF = (2 π R/ 360)·0.1

AF = 0.766 AB = 0.766·(2 π r/ 360)·9

y al final

R/r   =   90·0.766 = 69

Nota

  Algunos astrónomos han cuestionado si Hiparco utilizó el eclipse del año 128 AC--lo cual ocurrió durante su vida--o en lugar de eso utilizó registros de uno anterior en el año 190 AC, el cual también pasó cerca de un lugar llamado Helesponto, a lo largo de una ruta muy similar. Las rutas de esos eclipses y muchos otros se pueden encontrar en el atlas de eclipses de Fred Espenak, accesible desde la página de eclipses de la NASA, la cual es mantenida por él, en
      http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/eclipse.html

Las rutas de los eclipses están en
      http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/SEatlas/SEatlas.html

Comentarios finales

Según "A History of Astronomy" de A. Pannekoek, el resultado obtenido por Hiparco fue entre 62 y 73 radios terrestres. Hoy sabemos que la distancia media es de 60 radios, variando en algunos radios debido a la excentricidad de la órbita de la Luna.

En ausencia de un cronometraje exacto, con el método casi está garantizado que se produzca una sobremedición. La tierra gira debajo del punto de sombra proyectado por la Luna, que hace que ese punto pase rápidamente sobre una larga banda; pasa sobre muchos lugares en momentos diferentes. El Helesponto fue uno de los muchos lugares donde el eclipse fue total. Igualmente, Alejandría fue uno de los muchos lugares donde solo cubrió las 4/5  partes del Sol. Seleccionando aleatoriamente el punto B del primer grupo y el punto A del segundo podemos tener una  línea mayor que representa AB y una mayor (e incorrecta) distancia a la Luna. El hecho de que Alejandría está casi al sur del Helesponto no garantiza que su eclipse sea compartido o que no sea muy diferente.

El eclipse del 11 de Agosto de 1999  

¿Se repite la Historia?

El 11 de Agosto de 1999 ocurrió un eclipse total de Sol justamente a unos pocos cientos de kilómetros al norte del lugar que usó Hiparco. Su curso de totalidad se extiende desde el océano fuera de las costas de Nueva Inglaterra (Estados Unidos), a través de Inglaterra y Europa Central, hasta, al final, cruzar la India. Se muestra a la derecha un mapa de las áreas relevantes del eclipse. La línea doble delimita la región de la totalidad y las líneas paralelas indican los lugares donde se cubri%"243; el Sol en un 90%, 80%, etc,. Como podemos observar, el curso de totalidad cruz%#243; el Mar Negro a las 11:15 am en Tiempo Universal (1:15 pm hora local) a unos 300 km. al noreste del Helesponto y en Alejandría el 71% del diámetro del Sol está cubierto (mayor que el 80% del eclipse de Hiparco) a las 11:35 a.m.

Necesitará un poco de trabajo, pero puede, si desea, realizar los cálculos de Hiparco para este eclipse (Es mejor que use una calculadora).
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  1. Primero, imprima esta página y su mapa. Si la calidad de la impresión es baja, use una regla para dibujar las líneas horizontales de latitud 30 (El Cairo, Egipto) y 40 (Ankara, Turquía). Normalmente, esas líneas se inclinan y curvan un poco, pero en este cálculo tosco, se puede ignorar la curvatura. 

  2.  
  3. Con una regla mida la separación entre las dos líneas. Esta separación es igual a 10º de latitud.

  4.  
  5. Marque en su mapa un punto en la costa sur del Mar Negro por donde pasa la línea de totalidad. En vida de Hiparco estaba situada aquí la ciudad de Heraclea e Hiparco quizá la usó en vez del Helesponto, siendo su eclipse igual que el de 1999.

  6.  
  7. Mida con la regla la distancia desde Alejandría hasta el punto que ha marcado en la línea de totalidad. Use la medida que ha calculado para deducir la distancia correspondiente medida en grados de latitud.

  8.  
  9. El eclipse ocurre el 11 de Agosto, casi a la mitad entre el solsticio de verano y el equinoccio de otoño. El día del solsticio, el  21 de Junio el Sol está 23.5° al norte del ecuador; en el equinoccio de otoño, el 21 de Septiembre, está en el ecuador celestial.

  10. El 11 de agosto se puede esperar estar casi a la mitad entre ambos extremos, unos 12° al norte del ecuador. El lugar de totalidad escogido es a una latitud de 42º, luego el ángulo allí al mediodía, entre el cenit y la dirección del Sol es de alrededor de (42-12) = 30º. Para el coseno de ese ángulo vea aquí.
     
  11. Dado que el 71% del Sol está cubierto en Alejandría y asumiendo que el borde de la Luna alcanza en ese momento el 0.71 de su camino sobre el Sol (en rigor, no igual), puede ahora llevar a cabo el cálculo de Hiparco para el eclipse de 1999.
También existe una manera más rápida. Vea en el mapa que en el Helesponto, el 90% del Sol estaba cubierto el 11 de Agosto de 1999, lo cual significa que desde el campo de visión del observador allí, el frente de la orilla de la Luna era 10% del diámetro del Sol desde la orilla del Sol. En Alejandría, el mismo argumento muestra la orilla de la Luna con un 29% del diámetro desde la orilla.

    Las líneas de visión desde los dos sitios a la orilla de la Luna que se oculta, en lo máximo del eclipse, hicieron, por lo tanto, un ángulo igual al 19% del diámetro visible del Sol--Ácercano al 20% que Hiparco calculó!


    Como muestra la figura de arriba, la ruta de la totalidad del eclipse del 11 de Agosto de 1999 pasó sobre Bucarest, la capital de Rumania. El gobierno Rumano conmemoró el evento dibujando un mapa de la oscuridad a lo largo del país (continuando el dibujado arriba) en su billete de 2000 Lei. Haga click aquí para ver una copia de dicho billete (ocupa 132K bytes de memoria).

  Más detalles sobre este eclipse se encuentran en

          http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/TSE1999TSE1999.html.
y en
        http://umbra.nascom.nasa.gov/eclipse/990811/rp.html.

Una tira cómica lugar sobre el eclipse de 26.2.98, de "Sky and Telescope," da muchos detalles aplicables a los eclipses solares en general.



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Próxima etapa:    #9a  ¿Está la Tierra girando alrededor del Sol?

Author and Curator:   Dr. David P. Stern
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Spanish translation by J. Méndez

Y complementada por Horacio Chávez

última actualización 15 de Diciembre de 2004

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