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(14) I vettori

I vettori come estensione dei numeri

L'idea dei numeri si è sviluppata molto gradualmente. Dapprima vennero gli interi positivi -- 1,2,3... (non lo zero, che è stata un'aggiunta molto più recente) per descrivere gli oggetti contabili, come le pecore, i giorni, i membri della tribù, ecc.

Il concetto dei numeri negativi può essere stato originato da un'estensione della sottrazione, o forse dal denaro -- il denaro dovuto era una ricchezza "negativa", scritta in rosso nel registro contabile.

Oggetti che potevano essere suddivisi, come per esempio le terre, portarono alle frazioni. Attorno al 500 a.C. uno studente di Pitagora dimostrò che il numero corrispondente alla radice quadrata di 2 non poteva essere espresso come una frazione; questo non aveva molto senso per quei tempi, per cui ancora oggi chiamiamo quei numeri "irrazionali". Con questi numeri, interi, frazioni e irrazionali, può essere descritto tutto ciò che ha una dimensione, una grandezza.

Ma come facciamo a descrivere una velocità, che ha, oltre a una grandezza, una direzione?

Con un vettore, naturalmente.

Somma di vettori

Le velocità possono essere sommate. Supponiamo che un aeroplano voli a 300 km/ora con un vento in coda di 60 km/ora. Quanto velocemente si sposta rispetto al suolo? Facile: per ogni 300 km di percorso, il vento lo trasporta in avanti di altri 60 km, per cui la risposta è

300 + 60 = 360 km

Graficamente, ogni distanza sul suolo, od ogni velocità, può essere rappresentata da una freccia che dà la direzione, e la cui lunghezza rappresenta la grandezza: per esempio, una freccia AB lunga 300 mm (millimetri) corrispondente al moto dell'aeroplano e un'altra BC, lunga 60 mm, nella stessa direzione, corrispondente al vento. Per sommare le due velocità, basta posizionare le due frecce, una di seguito all'altra, come nella figura più in alto, qui accanto.

Fin qui è soltanto un modo complicato per fare un qualcosa di ovvio. Quello che rende la "somma delle frecce" veramente utile è il fatto che il procedimento è valido anche quando le direzioni delle due frecce sono diverse. Supponiamo ora che l'aeroplano voli contro un vento di 60 km/ora: ci si aspetterà che la velocità rispetto al suolo sia

300 - 60 = 240 km/ora

e la "somma delle frecce" (figura centrale) ce lo conferma.

Supponiamo adesso che la rotta dell'aereo sia diretta verso est, ma con un vento di 150 km/ora che soffia di lato verso nord-est: in che direzione si muoverà l'aereo, e quanto velocemente? L'intuizione questa volta non ci aiuta, ma il metodo della somma delle frecce funziona ancora (figura più in basso, non in scala).

Come regola generale, la combinazione delle due velocità porta l'aeroplano, in un'ora, nello stesso punto che si raggiungerebbe se la prima velocità e poi la seconda agissero separatamente durante un'ora di tempo. Come ci si può aspettare, la direzione combinata corrisponde a una via di mezzo tra est e nord.

  Tutti i vettori possono essere addizionati in questo modo, come frecce collocate con la coda dell'una sulla punta della precedente. Esiste comunque anche un altro metodo, spesso più facile da usare, che verrà descritto più avanti.

Scomposizione di un vettore nei suoi componenti

  Così come è possibile combinare due vettori in uno -- la loro somma -- è anche possibile eseguire l'operazione opposta, cioè, dato un singolo vettore, trovare due vettori che sommati siano equivalenti ad esso.

  Supponiamo che un dato singolo vettore sia rappresentato dalla freccia AB nel disegno, e desideriamo scomporlo nella somma di due vettori diretti lungo AA' e AA". Tracciamo due linee lungo AA' e AA", e inoltre due linee parallele ad esse che finiscano nel punto B, l'altra estremità del vettore. Se AA' e AA" sono perpendicolari tra loro (che è il caso più usuale), queste linee racchiuderanno un rettangolo ACBD, di cui AB è la diagonale. È ora evidente che AC e CB costituiscono la soluzione del nostro problema, e, con una addizione di vettori

    AC + CB = AB
  AC e CB sono chiamate le componenti di AB (o i vettori componenti di AB) lungo le due direzioni assegnate. AD e DB, che hanno la stessa lunghezza e la stessa direzione, sono anch'esse una soluzione e rappresentano le stesse componenti, con la differenza che in questo caso l'addizione viene effettuata in un ordine inverso. Se poi AA' e AA" non sono perpendicolari, allora ACBD è un parallelogramma.

Uso delle componenti di un vettore

  Scomporre un vettore nelle componenti può essere molto utile. Sono riportati qui sotto tre esempi, ed altri esempi si trovano nella sezione (22a).

(a) Sommare molti vettori

  Supponiamo che venga richiesto di sommare 10 vettori (in effetti situazioni di questo genere possono presentarsi...). Per effettuare questa operazione col metodo descritto precedentemente, si addizionano i primi due vettori, posizionando la coda del secondo sulla punta del primo, quindi si addiziona il terzo vettore alla somma dei primi due, e poi si passa al quarto... un lavoro molto noioso!

  Un modo molto più rapido è quello di scegliere due direzioni perpendicolari tra loro: con la notazione delle coordinate cartesiane, una direzione sarà chiamata la "direzione x" e l'altra la "direzione y". Si scompone quindi ogni vettore V in una "componente x" Vx lungo la direzione x e una "componente y" Vy lungo la direzione y.

   Adesso abbiamo non 10 ma 20 vettori che devono essere addizionati, ma il lavoro è molto più facile. Di questi vettori, 10 sono allineati con la direzione x, e vettori nella stessa direzione (come le velocità con il vento in coda e contro vento nel precedente esempio dell'aeroplano) si sommano come numeri ordinari. Lo stesso vale per gli altri 10 vettori allineati con la direzione y. Il problema si riduce a una fila di ordinarie addizioni e sottrazioni (vettori orientati in verso opposto hanno il segno negativo), e soltanto l'ultima fase -- quella di sommare tra loro il totale della direzione x con il totale della direzione y -- richiede un procedimento di somma di vettori.

    Nota: Il mondo reale è tridimensionale, e così sono i vettori. Anche i vettori in tre dimensioni possono però essere decomposti, ciascuno di essi risultando uguale alla somma di tre vettori nelle direzioni (x, y, z), e il rettangolo diventa un parallelepipedo, cioè una sorta di scatola rettangolare. Le componenti dello stesso tipo possono essere addizionate come nel caso bidimensionale visto sopra, e l'addizione finale comporta soltanto una somma dei vettori con ciascuna orientazione. Il vettore somma è ora la diagonale della scatola rettangolare, di cui le tre somme sono i lati.

(b) Calcolare un vettore somma

L'addizione dei vettori con il metodo di posizionare la coda dell'uno sulla punta del precedente consente di effettuare la loro somma graficamente. Le componenti consentono di ricavarla con il calcolo.

Riprendiamo l'esempio precedente dell'addizione di vettori -- un aeroplano che vola verso est a 300 km/ora (la sua velocità anemometrica, cioè la sua velocità rispetto all'aria), mentre un vento a 150 km/ora soffia verso nord-est. Il triangolo che rappresenta la somma vettoriale di questo esempio si trova in fondo alla prima figura di questa sezione.

Sia la direzione x quella verso est e la direzione y quella verso nord. Allora, le componenti (x,y) della velocità sono, in km/ora,

  • --quelle della velocità rispetto all'aria, (300,0)
  • --quelle della velocità del vento (150 cos 45o,150 sin 45o) = (106, 106)
poiché cos 45o = sin 45o = 0,707 (ricavato qui). Pertanto le componenti della velocità totale sono

(Vx,Vy) = (300+106,0+106) = (406,106)

Questo risultato fornisce la velocità totale V. Per il teorema di Pitagora,

V2  = (Vx)2 + (Vy)2

e quindi la grandezza di V è approssimativamente 420 km/ora, dove l'angolo acuto nel punto A della figura (che pure chiameremo A) soddisfa la relazione

sinA = 106/420 = 0,2524

Da cui risulta che A è circa 16,62 gradi.

(c) Il piano inclinato

  Questo esempio ci riporta all'esperimento di Galileo. Supponiamo di avere un piano leggermente inclinato a un angolo s (ved. disegno qui sotto) e su di esso un blocchetto ben lubrificato, pronto per essere fatto scorrere sul piano (Galileo aveva usato delle palline fatte rotolare sul piano inclinato, ma, se questo esperimento era più facilmente realizzabile, era però più difficile da calcolare, poiché l'energia cinetica viene suddivisa tra quella del moto traslatorio e quella del moto rotatorio della pallina). Se l'attrito è trascurabile, quanto velocemente il blocchetto scivola giù?
  La forza di gravità che agisce sul blocchetto (tale forza ha un nome: è il peso W del blocchetto) può essere rappresentata dalla freccia verticale AB di lunghezza W, orientata verso il basso. Questa non è però la direzione in cui il blocchetto può accelerare. Il vettore AB deve essere scomposto in due forze perpendicolari tra loro:

  • Una è perpendicolare alla superficie, è rappresentata dal segmento AC ed ha una grandezza pari a W cos s. Questa forza è completamente annullata dalla resistenza della superficie, la quale non consente alcun moto in quella direzione. Se nel moto si considera l'attrito, tuttavia, la forza di attrito è proporzionale a questa componente.

  • L'altra forza è parallela alla superficie, è rappresentata dal segmento AD, ha una grandezza W sin s, se non c'è nessun attrito a ostacolare il moto, ed è quella che consente al blocchetto di accelerare in quella direzione. La forza è più piccola del peso W di un fattore moltiplicativo sin s, un numero sempre più piccolo di 1, mentre la massa del blocchetto resta inalterata. La sua accelerazione è quindi ridotta dello stesso fattore e non corrisponde a g, come avverrebbe in caduta libera, ma è soltanto g sin s.

Ulteriori approfondimenti:

Un'altra elementare introduzione ai vettori.

Il prossimo argomento: #15 L'energia

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Autore e Curatore:   Dr. David P. Stern
     Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):   stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Giuliano Pinto

Aggiornato al 14 Agosto 2005


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Curators: Robert Candey, Alex Young, Tamara Kovalick

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