Un Calcolo Preliminare

dove (ricordate?) le due lettere ac stanno per "a per c" e lo stesso vale per bc.

  Ciò accade perché (c/c) = 1, non importa quale sia il valore di c (tranne naturalmente lo zero: "Non Dividerai per Zero") e moltiplicando qualsiasi cosa per 1 non cambia il suo valore. Nel prodotto di frazioni, la regola è moltiplicare la parte superiore con la parte superiore, la inferiore con la inferiore, così da avere

Riguardo il dividere la parte superiore e inferiore per lo stesso numero d

essa consegue subito dalla precedente, se si sceglie il numero c uguale a 1/d.

Lavorare con Piccole Quantità

  Molti di questi calcoli fanno uso delle seguenti osservazioni. Quando ricaviamo i quadrati, le 3e potenze, le 4e potenze di numeri più grandi di 1, i risultati sono sempre più grandi, mentre per i numeri più piccoli di 1, i risultati sono sempre più piccoli. Per esempio:

Siccome z² è molto più piccolo di 1 o z, possiamo scrivere, usando il simbolo ~ per "circa uguale"

e dividere ambo i membri per (1 – z)

(Molti testi usano il simbolo ~ non da solo ma messo sopra un segno di uguale; tuttavia, tale combinazione non è disponibile per i documenti su internet). Per esempio (controllate con la vostra calcolatrice)

Se           z = 0.01,     (1+z) = 1.01,      (1– z) = 0.99,

allora      1/(1– z) = 1/0.99 = 1.010101...

 La regole di base è: si possono trascurare le piccole quantità come z, z², z³ etc. quando sono sommate a (o sottratte da) qualcosa di più grande. Non si può farlo se sono solo moltiplicate o divise, perchè in quel caso, se fossero rimosse, non rimarrebbe niente dell'espressione che li contiene.

  Qui z può essere positiva o negativa. Se scriviamo z = – y, dove y è un numero piccolo di segno opposto, abbiamo

che è un altro utile risultato, valido per ogni numero piccolo. Se quel numero piccolo è rinominato di nuovo e ora è chiamato z (non la stessa z di prima, naturalmente), abbiamo

che può anche essere ottenuta dalla equazione precedente

dividendo entrambi i membri per (1 + z).

  Nella sezione (34a) dove viene calcolata la distanza dal punto di Lagrange L1, risulta necessario approssimare 1/[1– z]³. Si inizia da (1+z) ~ 1/(1– z) e si elevano ambo i membri alle loro 3e potenze:

Si sviluppi il primo membro:

Tuttavia, se z² e z³ sono molto più piccole di z, allora trascurando i termini che le contengono l'errore aumenta solo leggermente, lasciando

Un ulteriore passo: Il Teorema Binomiale

(queste sono la stessa formula, per z e a positivi e negativi). Ciò infatti è vero, e a può essere positivo, negativo o frazionario. È la conseguenza di un risultato dimostrato per prima da Newton, il suo cosiddetto teorema binomiale. Per quelli interessati, quella formula afferma

dove il denominatore della frazione che precede ogni potenza zⁿ è ottenuto moltiplicando tra loro i numeri interi (1,2,3... n), un numero generalmente denotato con n! e chiamato "n fattoriale."

    Se a è un numero intero positivo, la sequenza a, (a-1), (a-2)... alla fine raggiunge lo zero, e il termine dove ciò si verifica per prima vale esso stesso zero, così come tutti quelli che seguono, ognuno dei quali contiene un moltiplicatore ("fattore") zero. La serie di potenze di z quindi finisce con z^a e abbiamo formule come quella ricavata precedentemente per a=3:

   Questi casi del teorema binomiale erano noti prima di Newton. Infatti Omar Khayyam (1044-1123), secondo il sito citato qui, era considerato il primo ad aver ricavato il teorema e i suoi coefficienti, per potenze che sono numeri interi positivi (alcuni sostengono che fosse conosciuto anche prima di allora). Khayyam--che significa "falegname," his "takhallus" o pseudonimo--è meglio conosciuto is better known oggi per il suo "Rubaiyat" collezione di poemi di quattro righe (o quartine), resi famosi dopo che Edward Fitzgerald nel 1839 ha dato loro una traduzione ispiratrice in inglese.